数位dp模板

模板

应用：求某个区间[l, r]中，满足某个条件的数的个数
思路：

  1. 函数f(x)求[0, x]合法的数的个数，答案为f(r) - f(l-1)
  2. 从高位向低位枚举，每一位t可以划分为两个分支，左分支为0,1,…,t-1，右分支为t
  3. 预处理左分支的所有合法个数，递归处理右分支
  4. 不重不漏动态规划[0, x]所有数
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    #include <iostream>
    #include <cstring>
    #include <vector>
    #include <cmath>

    using namespace std;

    typedef long long ll;

    const ll N = 30;

    // f[i][j]:用于左分支
    ll f[N][N];

    // 预处理f
    void init(){}

    ll dp(ll n)
    {
        // 边界特判
        if (n == 0) return ;

        // 划分出每一位
        vector<ll> nums;
        while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;

        // res:答案 last:与已经枚举完的数的相关信息
        ll res = 0, last = -2;
        // 从高位到低位枚举
        for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i--)
        {
            // 取出每一位数
            ll x = nums[i];
            // 左分支
            for (ll j = 0; j <= x - 1; j++)
                if ()
                    res += f[][];

            // 判断是否合法
            if () // 更新last
            else break;  //接下来右分支的所有数都不合法

            // 最右下角分支
            if (i == 0)
                res++;
        }

        // 特殊处理

        return res;
    }

    int main()
    {
        init();
        ll l, r;
        scanf("%lld%lld", &l, &r);
        //[0, r]合法数 - [0, l - 1]合法数
        printf("%lld\n", dp(r) - dp(l - 1));

        return 0;
    }

题目

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#include <iostream>
#include <cstring>
#include <vector>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long ll;

const ll N = 15;

//f[i][j]:总共有i位,最高位是j的合法个数
ll f[N][N];

//初始化
void init()
{
    for (int i = 0; i <= 9; i ++ ) f[1][i] = 1;
    for (int i = 2; i < N; i ++ )
        for (int j = 0; j <= 9; j ++ )
            for (int k = 0; k <= 9; k ++ )
                if (abs(j - k) >= 2)
                    f[i][j] += f[i - 1][k];
}

ll dp(ll n)
{
    if (n == 0) return 0;
    
    vector<ll> nums;
    while (n) nums.push_back(n % 10), n /= 10;
    
    //last:上一位数字
    ll res = 0, last = -2;
    for (int i = nums.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        ll x = nums[i];
        //左分支
        for (ll j = i == nums.size() - 1; j <= x - 1; j ++ ) 
            if (abs(last - j) >= 2)
                res += f[i + 1][j];
        
        //判断是否合法
        if (abs(last - x) >= 2) last = x;
        else break;
        
        if (i == 0) res ++ ;
    }
    
    // 特殊处理有前导零的数
    for (int i = 1; i < nums.size(); i ++ )
        for (int j = 1; j <= 9; j ++ )
            res += f[i][j];
    
    return res;
}

int main()
{
    init();
    ll l, r;
    scanf("%lld%lld", &l, &r);
    printf("%lld\n", dp(r) - dp(l - 1));

    return 0;
}